четверг, 25 апреля 2013 г.

Задачи КДР по геометрии с решениями. 8 класс.

 Предлагаю решение пятого варианта  КДР по геометрии 2012 года, для учащихся 8 классов. Варианты КДР по геометрии 2012 года можно посмотреть здесь

ЗАДАЧА 1. ABCD – прямоугольник. О - точка пересечения АС и BD. Угол BOC=120º. Найдите угол DАО ( см. рис. 1 ).
Рис.1


Решение.  Угол DAO можно найти, рассмотрев треугольник  DOA.  Треугольник равнобедренный.  Угол DOA равен углу BOC, так как они вертикальные. Сумма углов при основании треугольника DOA  равна 180-120=60. Так как углы при основании равнобедренного треугольника равны, то искомый угол DAO равен 60/2=30. Ответ: 300.


ЗАДАЧА 2. Дан треугольник АВС. KF – средняя линия треугольника АВС. АВ=10, ВС=8, АС=12. Найдите периметр треугольника BKF (см. рис. 2).
Рис.2

Решение. Для решения достаточно вспомнить, что средняя линия треугольника равна половине его основания. Следовательно KF=12:2=6. Из определения средней линии следует, что KB=10:2=5; а BF=8:2=4. Находим периметр треугольника BKF  P=5+4+6=15.



ЗАДАЧА 3. АВС – прямоугольный треугольник со сторонами 6, 8, 10. Найдите косинус угла треугольника АВС, лежащего против меньшего катета.
Рис. 3

Решение.  Начертим рисунок по заданному условию. Так как гипотенуза прямоугольного треугольника всегда больше его катетов, то сторона, равная 10 – это гипотенуза. Катеты расположим произвольно (см. рис. 3). На чертеже отметим искомый угол.  Косинусом угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе. Т.е. 8/10.


ЗАДАЧА 4. ABCD – параллелограмм. АС – его диагональ. Угол BCА=35º, угол ADC=100º. Найдите угол АСD.
Рис.4

Решение. Составляем чертеж по условию (см. рис. 4). При параллельных прямых BC и AD, и секущей AC, углы BCA и DAC являются внутренними накрест лежащими углами. Эти углы равны, следовательно угол DAC=350. Рассмотрим треугольник ADC. Сумма углов треугольника равна 1800. Два угла нам известны, найдем третий 180 - (100+35)=45. Ответ: 450.


ЗАДАЧА 5. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона и большее основание равны по 20 см, острый угол равен 60º. Найдите меньшее основание.
Рис.5


Решение. По условию задачи составим чертеж (см. рис. 5). Проведем отрезок BK, параллельный отрезку CD. Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник ABK.

Теперь осталось найти меньшее основание BC= AD-AK=20-10=10. 
Задачу можно решить намного проще, если вспомнить, что в прямоугольном треугольнике катет, противолежащий  углу  30º  ( угол ABK) равен половине гипотенузы. Следовательно AK=10. Отсюда находим, что BC=10.
Ответ: 10 см.

ЗАДАЧА 6. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8:15, гипотенуза равна 51. Найдите периметр этого треугольника.
Решение. Приведу решение без предварительного составления чертежа. Катеты прямоугольного треугольника равны 8x и 15x. Используя теорему Пифагора, получим: 512=(8x)2+(15x)2. Решив данное уравнение, получим, что x=3. Следовательно стороны треугольника равны соответственно 24 и 45.
Если у кого-то есть интересные задачи КДР по геометрии прошлых лет для восьмиклассников, то просьба поделиться. Порешаем…

ЗАДАЧА 7. В параллелограмме большая сторона равна 25 . Меньшая высота  равна 12. Меньшая диагональ - 20. Найдите угол между этой диагональю и меньшей стороной.
Рис.6
Решение. По условию составляем чертеж. Рассмотрим треугольник BKD. По теореме Пифагора находим KD: 202=122+x2. Откуда x=16. Отрезок AK=AD-KD=25-16=9. Теперь, рассмотрев треугольник ABK, по т. Пифагора найдем меньшую сторону AB=15. Для нахождения угла BDC перейдем к треугольнику BDC, где убеждаемся, что теорема Пифагора, а именно 252=202+152, нам показывает, что наш треугольник прямоугольный, следовательно, искомый угол равен 900.  Ответ: 900.

ЗАДАЧА 8. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол AOD равен 1100. Угол DBC равен 300. BD=2AB. Найти углы параллелограмма.
Рис. 7
Решение. По условию составляем чертеж. Черным на чертеже показаны исходные данные. Красным – то, что мы находим. Немного поясню. 1. Угол BOC=1100 (свойство вертикальных углов). 2. Рассматриваем треугольник BOC и находим неизвестный угол BCO (400). 3. Угол DAO=BCO=400; угол CBO=ADO=300 (внутренние накрест лежащие углы). 4. По условию AB=BO, следовательно треугольник  ABO равнобедренный. Углы при основании равнобедренного треугольника равны. Значит BAO=DCO=700. Осталось только записать ответ. Ответ: Угол A=C=1100; угол B=D=700.

 ЗАДАЧА, предложенная в комментариях к посту.  На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4, ЕD = 5, ВD = 13. Докажите, что треугольник ВЕD прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма.
Решение: Рассмотрим этот чертеж с пояснениями (рисунок можно увеличить)









28 комментариев :

  1. Спасибо, что напомнили некоторые правила! Это должно помочь, наверное...

    ОтветитьУдалить
  2. в параллелограмме большая сторона = 25 . меньшая высота = 12. меньшая диагональ 20. найдите угол между этой диагональю и меньшей стороной

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Решения предложенных задач можно посмотреть в дополнении к этой статье. Спасибо за интересные условия.

      Удалить
    2. Найдите площадь прямоугольного треугольника если его катеты равны а)4 см и 11см; 1,2 дм и 3 дм.

      Удалить
    3. Уважаемый Аноним. Я найду то, что мне нужно. А вы?
      Не лучше ли вам за разъяснениями способов решения элементарных задачек обратиться к вашему учителю. Пользы будет намного больше, чем от виртуального общения.

      Удалить
  3. 2.в параллелограмме авсд диагонали пересикаются в точке О.угол аод = 110 угол двс = 30 и вд=2ав.найти углы паралелограмма

    ОтветитьУдалить
  4. в равнобедреной трапеции авсд с основаниямми вс и ад угол в = 135 вс=6 ад=14..найти высоту трапеции

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. А эта задачка решается устно. Ответ 4. Попробуйте начертить чертеж по условию, как я всегда советую своим ученикам. Если не получится - покажу решение.

      Удалить
  5. Судя по всему, господин анононим, Вы интересуетесь математикой, но не мешало бы изучить, что в математике обозначается маленькими латинскими буквами, а кроме того изучить правописание.

    ОтветитьУдалить
  6. спасибо вам БОЛЬШОЕ!

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный20 мая 2013 г., 22:14

    Я вот читал задачи... И не понял несколько моментов.
    Задача №7:
    ...перейдем к треугольнику BDC, где убеждаемся, что теорема Пифагора нам показывает, что наш треугольник прямоугольный... Что из этой теоремы указывает на то, что BDC - прямоугольный?
    Задача №8:
    А как вы нашли, что угол BOA-70 градусам?

    ОтветитьУдалить
  8. Задача №8. Сумма углов BOC, COD, DOA и AOB равна 360 градусов. Следовательно 360- 110x2=140. Так как вертикальные углы BOA и DOC равны, то делим 140 на 2, получаем 70 градусов.
    Задача №7. В треугольнике BDC никакие углы не известны, следовательно, для нахождения искомого угла можно предположить, что треугольник прямоугольный. Это мы и пытаемся доказать, применив теорему Пифагора. Так как равенство получается верным, то верно и наше предположение и следовательно угол действительно 90 градусов.

    ОтветитьУдалить
  9. помогите решить задачи пожалуйста.1)Стороны параллелограмма относятся как 1:2 ,а его периметр =30 см .Найди стороны параллелограмма.2)В равнобедренной трапеции сумма углов при большем основании равна 96 градусов .Найти углы трапеции.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Немного удивлена, что столь легкие задачи вызвали сложность.
      1. Одна сторона – x, другая - 2x. Сумма сторон x+x+2x+2x=30, т.к. 30 – периметр. Решая, получим x=5 (меньшая сторона), большая, соответственно – 10.
      2. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, следовательно 96:2=48 – углы при основании. Сумма двух других углов равна 360-96=264 . Итак, углы трапеции 48, 48, 132, 132.

      Удалить
  10. спасибо вам большое

    ОтветитьУдалить
  11. пожалуйста помогите мне с задачей срочно нужно исправить 3 на 4 .ABCD-прямоугольник,E-середина AB,угол BAC=50 градусов НАЙТИ EOD

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ольга, в задаче не хватает данных относительно точки О. Что она из себя представляет? Если это точка пересечения диагоналей прямоугольника, то искомый угол - 140 градусов.

      Удалить
  12. Помогите пожалуйста Решить неравенство 4 − 5x ≤ 9

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Уважаемый Аноним. За помощью в решении таких неравенств, очень лёгких, лучше обратиться к вашему учителю. Поверьте, это самый лучший выход из положения. В дальнейшем неравенства и их системы не будут вам казаться сложными.

      Удалить
  13. Помогите решить пожалуйста:

    В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке О,причём угол ABO=угол CDO; BO=OD.Периметр треугольника AOB равен 17 см; BC=9 см; CD=6 см.
    1) Докажите,что четырехугольник ABCD-параллелограмм.
    2)Найдите периметр треугольника AOD

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Дарья, предлагаю более интересный вариант - я даю подсказку, а вы оформляете окончательно решение. Идет?
      1). Раз надо доказать, что фигура – параллелограмм, то надо воспользоваться для доказательства свойствами данной фигуры. Первое: диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам (в вашем условии есть на этот указание). Второе: противолежащие стороны параллелограмма параллельны. Здесь надо рассмотреть предположительно параллельные стороны ВС и AD и секущую BD. Углы ABO и CDO по условию равны, следовательно они внутренние накрест лежащие при параллельных прямых. Вывод: ВС и AD параллельны. Советую сделать чертеж и провести доказательство, используя эти данные.
      2). Насчет чертежа сказала не просто так, если вы его сделали, то продолжим. Обозначим BO=x, AO=y. Периметр – сумма всех сторон, значит 6+x+y=17 (по условию). Отсюда x+y= 17-6=11. Рассмотрим треугольник AOD, сумма его сторон 9+x+y=9+11=20.
      Желаю успехов.

      Удалить
  14. Андрей Маталыгин11 января 2014 г., 13:15

    Помогите, пожалуйста, с такой задачей: 4. На стороне АD параллелограмма АВСD взята точка Е так, что АЕ = 4, ЕD = 5, ВD = 13. Докажите, что треугольник ВЕD прямоугольный, и найдите площадь параллелограмма. Затруднение вот в чём: если предположить, ВЕ - перпендикуляр, то по теореме Пифагора находим, что ВЕ=12. Но является ли тот факт, что нашлось такое число, доказательством, что этот треугольник - прямоугольный?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Андрей, зайдите по ссылке . Я вам решила эту "красивую" задачу (она размещена последней к посту), а вот подойдет ли такой способ зависит от того, проходили ли вы векторы.

      Удалить
  15. помогите
    дан треугольник h=4,8 c=10 найти a,b,Ac,Bc

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Дарья, извините, не совсем поняла условие, хотя догадываюсь о чем вы пишете. Какой это треугольник? Может быть прямоугольный? Если задача для 8 класса, то мне кажется, что вы что-то упустили в условии. Можно поподробнее? Высота проведена из вершины С?

      Удалить
  16. Здравствуйте, Галина Станиславовна!
    Спасибо за задачи. Если не мог решить, смотрел в ответы и вспоминал, как и что. Пост очень полезный. Можно проверить себя, понять, если что-то забыл.
    Спасибо, мне понравилось!
    Ренат

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ренат, добрый вечер. Эта контрольная нам предстоит лишь во второй половине учебного года. Ещё успеем подготовиться, а я ещё опубликую новые задачи...
      А вот в октябре КДР по алгебре. И первую подготовку начнем уже завтра.

      Удалить

Вы хотите оставить комментарий, но не знаете, КАК? Очень просто!
- Нажмите на стрелку рядом с окошком Подпись комментария.
- Выберите Имя/URL (никто не любит анонимов)
- Наберите своё имя, строчку URL можете оставить пустой.
- Нажмите Продолжить
- В окошке комментария напишите то,что хотели
- Нажмите Публикация.
Если вы хотите разместить изображение в комментарии, то используйте теги [im#]...[/im], вместо точек вставляем URL картинки.
Спасибо!

LinkWithin

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...