суббота, 23 марта 2013 г.

Кенгуру-2013: несколько задач с решениями!


       Задачи «Кенгуру» 2013 года активно обсуждаются в интернете: кто-то приводит свои варианты (часто неправильные) ответов к задачам, кто-то просто ругает конкурс за сложность предлагаемых задач. Думаю, что раз  конкурс международный, то снижать уровень сложности заданий нецелесообразно. А вот учителям математики стоило бы поактивнее включиться в обсуждение вариантов решений, таким образом повышая интерес учащихся, неравнодушных к математике. Хочу предложить несколько решений к понравившимся мне задачам разного уровня сложности для учеников 7-8 классов.

Задача 1. (5 баллов) Задачку про попугаев (с решением) можно прочитать в комментариях к моей предыдущей  статье  читать>>

Задача 2. (3 балла) Чему может быть равно среднее количество котят у пяти кошек? Варианты ответов (А) 3,3  (Б) 4,2  (В) 4,5  (Г) 4,75  (Д) 5,7.
Так как кошек пять, то получить среднее количество котят можно разделив их число на пять. Умножив все приведенные значения на 5, получаем, что только вариант (Б)  не даст нам дробного значения. 4,2×5=21. Итак, 21 котенок.

Задача 3. (4 балла)  Марк и Лиза стартуют одновременно из диаметрально противоположных точек круговой аллеи и бегут по этой аллее в одном направлении. Скорость Марка в 9/8 раза больше скорости Лизы. Сколько полных кругов пробежит Лиза, когда Марк догонит её в первый раз?
Между Лизой и Марком половина круга (1/2). Скорость Марка на 1/8 больше скорости Лизы. За каждый круг Марк будет преодолевать  1/8 расстояния, которое их разделяет. Разделив это расстояние 1/2 на 1/8 получим:  1/2 :1/8=4. Четыре полных круга.

Задача 4. (3 балла)  Маша придумала новую операцию с числами: a × b= 2a + 3b. Чему равно 3 × (4×5)?
4×5= 2×4+3×5=23;  3×23= 2×3+3×23=75.

Задача 5. (4 балла)  У Васи 9 черных и 18 белых кубиков одинакового размера. Из них он хочет сложить куб (3 на 3 на 3). Какое наибольшее количество граней черных кубиков может оказаться на поверхности получившегося куба?
Чтобы получилось максимальное количество черных граней, надо расположить черные кубики по углам, заняв все 8 углов: 8×3=24. Останется один кубик, который располагаем на ребре, т.о. будет видно ещё две грани: 24+2=26.

Задача 6. (5 баллов)  Джон задумал пятизначное число. Вычеркнув из него одну цифру, он сложил полученное четырехзначное число с исходным пятизначным числом. Сумма оказалась равна 52713. Чему равна сумма цифр задуманного Джоном пятизначного числа?
Опущу свои абстрактные рассуждения, так как моим ученикам всегда нужны конкретные примеры, а в данном случае хочу привести сразу конкретные цифры. Возьмем пятизначное число 47921 ( как я его получила попробуйте  догадаться сами, расположив числа другом под другом, как при сложении). Вычеркнем из него последнюю цифру 1. Сложим 47921 и 4792: 47921+4792=52713. Теперь посчитаем сумму цифр исходного пятизначного  числа, получим 23.
Задача 7. Геометрическая задача (5 баллов)  Условие см. на чертеже.



33 комментария :

  1. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  2. Светлана, мне приятно, что вы ко мне обратились за решением этой задачки. Я её решала, опираясь на признаки подобия треугольников( которые проходят в 9 классе) и получила ответ 4025. Мне не нравится длинный способ моего решения, постараюсь на днях "причесать" свои выводы и опубликую в дополнение к этой статье.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Задача 7(5бал)
      Продолжим с n.2
      2. AC= √(〖2013〗^2+〖2013〗^2 )=2013√2
      PC= 2013√2-√2=2012√2
      Из подобия прямоугольных треугольников AFE и PCE
      Запишем AF/PC=AE/PE, найдем AF=(AE∙PC)/PE=PC∙1/PE=2012√2 ∙√2 =4024
      Ответ: AF=4024

      Удалить
  3. Здравствуйте, Галина Солоденкова, я хотела бы попросить Вас выложить все ответы (если они конечно у вас имеются) на кенгуру 2013, т.к. многие родители и их дети хотят узнать сколько баллов они набрали. Я думаю многие родители и их дети будут благодарны Вам. Заранее спасибо.

    ОтветитьУдалить
  4. Почему-то вспомнилось, что не боги горшки обжигают..., а люди. Ответов у меня нет. Я и начала свои публикации про конкурс потому, что ответы в интернете часто взяты "с потолка". А какой класс Вас интересует?

    ОтветитьУдалить
  5. 7 класс. Можете написать хотя бы несколько задач. Пожалуйста.

    ОтветитьУдалить
  6. 7-8 класс...Завтра посмотрю. Правда размещу только свои ответы (без решений). Хотя, уже семь задачек из 7-8 классов решила в этой статье. Многие из них под силу только девятиклассникам. Но.., конкурс международный и надо с этим считаться..

    ОтветитьУдалить
  7. Как и обещала, размещаю ответы к задачам для 7-8 классов конкурса "Кенгуру". Не претендую на стопроцентную точность, да и решала далеко не всё.
    3 балла: 1. Г; 2. Г; 3. В; 4. А; 5. Б; 6. Д; 7. Б; 8. В; 9. А; 10. В (хотя, в этом задании можно сказать, что все отпечатки получатся).
    4 балла: 11. Г; 12. Б; 13. А; 14. Б; 16. Возможно (Б); 17. В; 18. Г; 19. В.
    5 баллов: (эти задания решала выборочно) 21. Б; 27. (Попугаи) Б; 28. Г; 29. Задача про Буратино не понравилась категорически… Пожалуй, все.

    ОтветитьУдалить
  8. Здравствуйте, Галина Станиславовна. Хотелось бы сказать по поводу задачи номер 7. Ее можно решить нбез постороения перпендикуляра и теоремы пифагора ( ее еще не проходили), т.е. используя АС как биссектрису и подобие треугольников.
    С Уважением, Незрин К.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо за комментарий. Задача во всех смыслах сложная для учеников 7-8 классов, на которых она рассчитана. Ведь в 7 классе ещё не проходят теорему Пифагора, а в 8 классе по нашей программе не проходят признаки подобия треугольников. Я буду благодарна за подробные комментарии иных способов решения задачек, которые можно вставить как картинку.

      Удалить
    2. В ближайщее время выставлю свое решение. ( не знаю правда как картинку выставлять). Вы правы, задача не для 7 класса. Но по-моему в конце 7 класса уже проходят подобие? или нет? Незрин К.

      Удалить
    3. Подобие по программе Погорелова (а наша школа идет именно по ней) проходят в самом начале 9 класса. Но есть и другие программы. Вспомним, что конкурс "Кенгуру" международный, программ много, многие дети занимаются в математических школах... Я преподаю в обычной школе и мне приятно сообщить, что в прошлом году мой ученик решил правильно 96% задач.

      Удалить
  9. помогите срочно решить задачу вот сома задача один+один=много

    ОтветитьУдалить
  10. Здравствуйте, Галина!
    Подскажите принцип (или название метода) по которому решаются задачи аналогичные приведенной ниже:
    В корзине лежат вишни, черешни и крыжовник. Если достать любые 100 ягод, то среди них обязательно будут вишня и черешня. Какое наибольшее количество ягод может быть в корзине?
    Спасибо!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. На мой взгляд в задаче не хватает данных. В связи с этим вопрос, откуда взято условие? Может быть вишен, черешен и крыжовника поровну? Предположим, что из 100 ягод всего одна вишня и одна черешня, а остальное крыжовник (в условии не сказано, что крыжовника в этих ста ягодах нет). Значит минимальное количество ягод - 100, а максимальное - столько, сколько вмещает корзина. Если достали только вишню и черешню, то 101 - минимальное количество ягод, максимальное опять не узнаем. Если же ягод поровну и мы, достав 100 из них, имеем одну вишню, одну черешню и 98 ягод крыжовника(пусть это весь крыжовник), то общее количество ягод 98+98+98=294. Если же это не весь крыжовник, то задача снова не имеет смысла. Может быть я не права...

      Удалить
    2. Добрый вечер, Галина! Спасибо Вам за отклик. Задачу решает дочка (закончила 8 класс) для летней школы МГУ (оттуда и условие).
      Вчера я решал допоздна, сомневаюсь, что правильно, потому что давно в школе не учился, - вот что получилось :
      В корзине лежат вишни, черешни и крыжовник. Если достать любые 100 ягод, то среди них обязательно будут вишня и черешня. Какое наибольшее количество ягод может быть в корзине?

      Из условия следует, что хотя бы минимальное количество каждого сорта – должно быть в корзине!
      Вишню или черешню (хотя бы 1 шт.) мы должны найти – гарантированно, даже при худшем стечении обстоятельств (как вытекает из условия)
      Вишни – в
      черешни – ч
      крыжовник – к
      Решаем по «принципу крайнего» значения:

      В + К = 99 тогда Ч = 1 Сумма – 100 шт.
      Или
      Ч + К = 99 тогда В = 1 Сумма – 100 шт.
      Берем любые 100.
      В этих случаях условие выполняется.
      100 шт. – приемлемое наибольшее значение

      Увеличиваем количество:
      Сумма 101шт в корзине – каких, - мы не знаем.
      В + К = 100 тогда Ч = 1 Сумма – 101 шт. – черешню можем не найти (если она одна там)!
      Не подходит!
      В + К = 99 тогда Ч = 2 Сумма – 101 шт.
      Но может быть и Ч = 1 - а В + К = 100 - Черешню не находим!
      Или
      Ч + К = 100 тогда В = 1 Сумма – 101 шт. – вишню можем не найти! (если она одна там)!
      Не подходит!
      Ч + К = 99 тогда В = 2 Сумма – 101 шт.
      Но может быть при101 шт и В = 1 - а Ч + К = 100 - Вишню не находим

      Т. Е. при количестве 101 шт., если вишня или черешня в корзине 1 шт., мы можем ее не выбрать!
      Если берем 100 любых (из 101) – можем взять без вишни или без черешни – если она там одна.
      В этих случаях условие не выполняется.
      Ответ: 100 шт.

      Удалить
    3. Спасибо. Интересное решение. Т.е. если коротко сформулировать, то наибольшее количество ягод может быть только 100, ведь если в корзине 101 ягода и среди них всего одна вишня, то, достав любые 100 ягод, вишню мы можем не выбрать. Интересную логическую задачу предлагает МГУ. Но, что мне больше всего нравится, так это заинтересованность отца в образовании дочки. Желаю ей удачи!

      Удалить
    4. Я не согласен с подобным решением. Сам обучаюсь в 8 классе и пишу эту олимпиаду. С чего вы взяли, что вишня и черешня имеются в единственном экземпляре?

      Удалить
    5. Максим, для начала, здравствуйте. Вежливость ещё никто не отменял. Если вы внимательно прочитаете мой первый комментарий к этой задаче, то узнаете мое мнение о решении. Во втором комментарии я коротко пересказала решение анонимного пользователя. Расскажите, что это за олимпиада. Можете ли поделиться ссылкой на условия или их нет в интернете?

      Удалить
    6. Галина, здравствуйте. Это второй этап. Второго этапа в свободном доступе, на сколько я знаю, нет. Я не согласен ни с одним выводом, прозвучавшим здесь. 1) Решение есть, максимальное кол-во ограничено, найти можно. 2) Ваш пример с 294 неверен. Возьмем 98 вишен и 2 крыжовника. Ни 1 черешни нет. 3)Я могу привести пример для 101 ягоды(На деле больше, но до конца олимпиады выкладывать решение/ответ не хочу). 95 крыжовника, 3 черешни, 3 вишни.
      Возможно я не прав, но моё мнение такое.

      Удалить
    7. Спасибо. Тогда, пожалуйста, поделитесь правильным ответом в конце олимпиады. Мнения учителей разделились и к единому варианту ответа мы не пришли... Желаю вам удачи в этом конкурсе.

      Удалить
    8. Благодарю. В конкурсе я не преуспел, т.к. не смог ввести записанные ответы, исчезло соединение с интернетом.
      197
      Обозначим за К количество ягод крыжовника, за Ч черешен, за В вишен. Так как среди любых 100 ягод найдётся вишня, получаем неравенство К+Ч<=9, из условия для черешен получаем К+В<=99. Сложим эти неравенства. 2К+Ч+В<=198. Крыжовник хоть 1 есть, поэтому верно неравенство К+Ч+В<=197, т.е. ягод всего не больше 197. Осталось привести пример. 98 вишен, 98 черешен, 1 крыжовник. У нас 99 не черешен, поэтому очевидно, что среди любых 100 ягод встретится черешня. По аналогичным причинам встретится вишня, что и требовалось доказать.

      Удалить
    9. Описался, К+Ч<=99

      Удалить
    10. Спасибо. Очень интересное решение. Максим, конкурсов в вашей жизни будет ещё очень много. Чувствуется ваша заинтересованность в образовании, а это уже большая успешность. Пожелаю себе как можно больше таких, интересующихся математикой, учеников.
      С праздником 1 МАЯ!

      Удалить
    11. Благодарю.
      Вас тоже с праздником.

      Удалить
  11. Добрый вечер, Галина! Ответ 100 - очень простой и наверное неверный. Во вторник узнаем правильный. Спасибо, Вам также удачи!

    ОтветитьУдалить
  12. Анонимный25 мая 2013 г., 0:57

    Добрый вечер, Галина!
    Как оказалось, математика сейчас перестала быть точной наукой. Решений может быть несколько, и правильный ответ выбирается после получения всех результатов.
    В задаче про ягоды, я заметил, что намеренно опустили слова: "каждой из ягод" или "всех ягод", что меняет смысл вопроса. Но так даже интересней.
    В школе мы этого не учили, но сейчас, например, крупные компании предлагают при приеме на работу пройти предварительно тестирование. Там много математических задач.
    Предлагаю Вам, как учителю, попробовать такие тесты с детьми. Очень хорошая тренировка для памяти и быстроты мышления, если учесть, что время ограничено, и лишней информации дано очень много, что сделанно намеренно чтобы усложнить поиск решения.
    Сейчас дети способнее, чем мы раньше были.
    Моя дочка успешно прошла 3-ий тур и я очень этому рад.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Здравствуйте. Честно говоря хочется приписать имя и отчество, которых, увы, анонимные посетители почему-то не указывают, а зря, ведь блог педагогический и дистанционное общение учеников и их заинтересованных родителей с учителем приветствуется любым образовательным учреждением.
      Хочу поздравить вашу дочь с таким хорошим результатом и с окончанием учебного года! Искренне за вас рада.
      Что касается тестов, то я немного знакома с их содержанием (видела как-то тест французской компании). Я бы не сказала, что предлагаются именно задачи, скорее всего это можно назвать вопросами на логику. Действительно, логическое мышление должно быть на высоте и скорость принятия верного решения в современном мире очень важна. В обычной школе, где в классе дети с разным уровнем подготовки по предмету, применять такие тесты довольно проблематично. Буду признательна за ссылку на то, где в интернете можно найти задания, которые решала ваша дочь.
      P.S. Я всегда рада постоянным посетителям. Надеюсь, что и статьи, не имеющие отношения к математике, тоже иногда просматриваются.
      С уважением, Галина Станиславовна.

      Удалить
  13. помогите пожалуйста какое из чисел 1 2 5 6 7 не является разностью некоторых двух из этих чисел?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Если рассуждать, то и 1, и 2, и 5, и 6 можно представить, как разность двух из представленных чисел. Например, 5=7-2. А вот семерка не является разностью некоторых двух из этих чисел.

      Удалить
  14. Здравствуйте, Галина! С наступающим вас праздником Весны!
    Мой сын учится в третьем классе. В этом году, первый раз, будем участвовать в конкурсе "КЕНГУРУ-2014". Сейчас решаем задачи из "КЕНГУРУ-2013", однако, пятибальные задачи вызвали у нас затруднения. Например,в 21 задаче у нас никак не получается ответ: 15. Если вы нам подскажите какие там производятся вычисления, как она вообще решается, то будем вам очень благодарны. Условия задачи:
    из детей, которые пришли в гости к Наде, больше половины были мальчики. Больше трети мальчиков звали Федя. Всего среди гостей было три Феди. Какое наибольшее количество детей могло быть в гостях у Нади?

    ОтветитьУдалить

Вы хотите оставить комментарий, но не знаете, КАК? Очень просто!
- Нажмите на стрелку рядом с окошком Подпись комментария.
- Выберите Имя/URL (никто не любит анонимов)
- Наберите своё имя, строчку URL можете оставить пустой.
- Нажмите Продолжить
- В окошке комментария напишите то,что хотели
- Нажмите Публикация.
Если вы хотите разместить изображение в комментарии, то используйте теги [im#]...[/im], вместо точек вставляем URL картинки.
Спасибо!

LinkWithin

Related Posts Plugin for WordPress, Blogger...